日記/2016-06-20

ポイントとしては・・・

• 「どれが偽物かの特定」
• 「偽物が軽いか重いかの特定」

・・・という２つの観点がある、ということ。

多くの場合、これら両方を一度には特定できないので。
「重いかもしれない偽物群」「軽いかもしれない偽物群」を絞って、そこからアプローチと。
「偽物には違いない」という条件から、「正しい」ものと比較して特定するアプローチと。
これらをうまく組合せ・繰り返して対応していくことになる。

偽物が「軽いか」「重いか」がわかっているならば、天秤1回で 3個のコインから1個の偽物を特定することができる。
偽物が「軽いか」「重いか」がわかっていなければ、天秤1回で 2個のコインから1個の偽物を特定することができる。
逆に言うと、最初の2回で候補を3個以下に絞り込めないと、これを突破することはできない。

偽物が「軽いか」「重いか」を特定するにも、天秤1回が必要になる。
ただ「1個ずつ」比較していてはきりがない：ある程度まとめて、予測も含めた判断が必要になるケースもあるだろう。

天秤1回目 †

12枚を4枚ずつ3つのグループ A, B, C に分ける。
で、AとBとを天秤で比較する。

この結果発生するのは以下のいずれか。

1. つりあう。
   • この場合「天秤に乗っていない C」の4枚のどれかが偽物。
   • 同時に、A,B の合計8枚は「本物」。
2. 傾く。
   • 「重い偽物が含まれるかもしれない A 4枚」と「軽い偽物が含まれるかもしれないB 4枚」の予測ができる。
     • もちろん天秤上は「軽いかもしれないA」になるパターンもあるが、パズル的には等価なので区別しない：「重かったほうをAに命名しなおす」だけでいいわけで。
   • 同時に Cの4枚は「本物」

1回目がつりあった場合の、2回目＆3回目。 †

C に含まれる4枚を仮に Ca,Cb,Cc,Cd とする。
この中に必ず偽物が含まれるが、重い偽物か軽い偽物かは、不明。

そこで、「Ca, Cb,Cc の3枚」と、「本物３枚」とを比較する。
この結果、発生するのは以下のいずれか。

1. つりあう。
   • Ca,Cb,Cc が本物であること確定。⇒ 残った Cd が偽物。
   • 3回目の測定で、Cd を本物と比較。重さ確定。
2. 傾く。
   • Ca, Cb,Cc のどれかが偽物。また「本物との比較」で傾いているので、偽物の「重い・軽い」が特定できる。
   • 3回目の測定で、Ca, Cb を比較。傾けば、「偽物の重さ」からどちらが偽物かを特定できる。
   • もしこの測定がつりあえば、Cc が偽物確定。

1回目が傾いた場合の2回目 †

重いかもしれない4枚を Aa,Ab,Ac,Ad とする。
軽いかもしれない4枚を Ba,Bb,Bc,Bd とする。

「A系3枚+B系3枚」vs「本物6枚」とできれば前述の「Cの4枚に本物がある」ケースと同じになるのだが、 このケースの場合「正しいコイン」が4枚しか特定できていないので、それは無理。
代わりにわかっている情報：「Aグループは、偽物だとしたら重い」「Bグループは、偽物だとしたら軽い」というのが、特定のためのヒントになる。

「Aa,Ab,Ac, Ba,Bb」の5枚と、「正しい4枚, Ad」の5枚とを比較する。
この「重いかもしれないAd」を正しい側に混ぜているのがポイントか。

この場合の結果は、以下の３パターン。

1. つりあう。
   • 天秤に乗っていない Bc, Bd のいずれかが偽物。
   • 3回目で Bc, Bd を比較。Bグループに存在しうるのは「軽い偽物」なので、より軽かったほうが偽物。
2. 「Aa,Ab,Ac, Ba,Bb」側が下がる。
   • Aa,Ab,Ac のいずれかが偽物。
     • 「Ad」は「重い偽物候補」なので、「正しい4枚, Ad」側が軽い故に上がった可能性はない。
       また、Ba,Bb は「軽い偽物候補」なので、こちらが下がった場合には本物と言える。
   • ３回目で、Aa,Ab を比較。Aグループに存在しうるのは「重い偽物」なので、より重かったほうが偽物。
     • ここで Aa, Ab がつりあう場合、Acが偽物。もちろん「重い偽物」
3. 「Aa,Ab,Ac, Ba,Bb」側が上がる。
   • この場合、Ba, Bb, Ad の3枚のいずれかが偽物といえる。
     Ba, Bb が軽いために上がったのか、Adが重いために下がったのか。
     • Aa, Ab,Ac は「重い偽物候補」なので、このケース==こちらが上がる場合本物と特定できる。
   • 3回目で Ba,Bbを比較。Bグループに存在しうるのは「軽い偽物」なので、より軽かったほうが偽物。
     • ここで Ba, Bb がつりあう場合こちらが本物なので、Adが偽物。もちろん「重い偽物」。

以上。

ご意見などがあれば。